मान लीजिए A = begin{bmatrix} frac{1}{sqrt{10} | vedclass

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Question

(D) सबसे पहले,ध्यान दें कि $A$ एक लांबिक (orthogonal) आव्यूह है,जिसका अर्थ है $AA^{T} = A^{T}A = I$,जहाँ $I$ तत्समक आव्यूह है।इसके बाद,$B$ की घातों की

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$\begin{bmatrix} 1 & 2023i \ 0 & 1 \end{bmatrix}$

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(D) सबसे पहले,ध्यान दें कि $A$ एक लांबिक (orthogonal) आव्यूह है,जिसका अर्थ है $AA^{T} = A^{T}A = I$,जहाँ $I$ तत्समक आव्यूह है।इसके बाद,$B$ की घातों की गणना करें:$B^2 = \begin{bmatrix} 1 & -i \ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & -i \ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & -2i \ 0 & 1 \end{bmatrix}$$B^3 = \begin{bmatrix} 1 & -2i \ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & -i \ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & -3i \ 0 & 1 \end{bmatrix}$गणितीय आगमन द्वारा,$B^{n} = \begin{bmatrix} 1 & -ni \ 0 & 1 \end{bmatrix}$,इसलिए $B^{2023} = \begin{bmatrix} 1 & -2023i \ 0 & 1 \end{bmatrix}$।दिया गया है $M = A^{T}BA$,तो $M^{n} = (A^{T}BA)(A^{T}BA)...(A^{T}BA) = A^{T}B^{n}A$ होगा।अतः,$M^{2023} = A^{T}B^{2023}A$।अब,$AM^{2023}A^{T}$ की गणना करें:$AM^{2023}A^{T} = A(A^{T}B^{2023}A)A^{T} = (AA^{T})B^{2023}(AA^{T}) = I \cdot B^{2023} \cdot I = B^{2023} = \begin{bmatrix} 1 & -2023i \ 0 & 1 \end{bmatrix}$।आव्यूह $\begin{bmatrix} 1 & k \ 0 & 1 \end{bmatrix}$ का व्युत्क्रम $\begin{bmatrix} 1 & -k \ 0 & 1 \end{bmatrix}$ होता है।इसलिए,$B^{2023}$ का व्युत्क्रम $\begin{bmatrix} 1 & 2023i \ 0 & 1 \end{bmatrix}$ है।

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यदि आव्यूह $A = \left[\begin{array}{ll}2 & 5 \\ 1 & 3\end{array}\right]$ का व्युत्क्रम (inverse) अस्तित्व में है,तो उसे ज्ञात कीजिए।

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